Oké, így már könnyű, hacsak el nem néztem valamit nagyon
Legyen n db diszjunkt halmazunk, amit az egyszerűség kedvéjért A1, A2...An-nel jelölünk. A keresett halmazaink A1 unió A2, A2 U A3, ... A(n-1) U An és An U A1
Jerikó, grat! Nekiláttam a játékodnak, már van egy fél tucat nyerő és vesztőhelyzetem, csak a 3-5-7 nem tartozik bele egyikbe sem. Lehet, hogy nem így kéne megcsinálni, de ez tűnik most a legegyszerűbbnek
EDIT: Ez tűnik most a nyerő lépésnek (gondolom több is van, ez az egyik):
Első lépésként a hármas kupacból elveszek egyet.
A gondolat menet ronda, de azért leírom. A zárójeles írások az állapotra vonatkoznak, hogy ne kelljen később annyit írnom
Általánosan vesztőhelyzet, ha két sorban ugyanannyi bábu van, a harmadikban pedig 0 (nn0). Ekkor bármit lépünk a másik vissza tudja hozni ezt a helyzetet, a végén pedig 0 lesz mindegyik helyen és ezzel ő nyert. Ehhez tartozó két nyerőhelyzet, amikor az egyik sorban 0 bábu van, a másik kettőben különböző számú (nm0), valamint az, ha két oszlopban azonos számú, a harmadikban pedig nem 0 (nno).
Ezután már sajnos csak konkrét vesztő/nyerő helyzeteket találtam (biztos lehet őket általánosítani). Az első az, amikor az egyikben egy, a másikban kettő, a harmadikban 3 bábu van (123), ez vesztő helyzet, mivel bármit veszünk el, az előző két nyerőhelyzet valamelyikét állítjuk elő. Ehhez tartozik egy nyerőhelyzet is, amikor két oszlopban legfeljebb három bábu van, a harmadikban pedig több, mint három (kkn). Ebből vagy előállítható az 123, vagy pedig amúgy is valamelyik előző nyerőhelyzetben vagyunk. A következő vesztő helyzetem az 145, innen csak az előző nyerőhelyzetekbe visz lépés (1-et elvéve nm0, 4-esből kkn, 5-ösből vagy kkn, vagy nno).
A 246 is vesztőhelyzet, mivel a 2-esből elvéve vagy nm0-ba jutunk vagy 146-ba, ahonnan a nyerő 145-be lép, a 4-esből elvéve a nyerő 123-ba visz (kivéve, ha mind elvesszük, akkor nm0-ba mentünk és nyeri a másik), a 6-osból vagy 245-be megyünk, amiből bevisznek, minket az 145-be, vagy pedig mást, akkor az 123-ba, vagy nn0-ba visznek. A 257-ből hasonló meggondolással vagy valamelyik első helyzetbe kerülünk, vagy 246-ba, 145-be, vagy 123-ba.
Nem állítom, hogy ezt sikerült tökéletesen érthetően leírnom, azt meg pláne nem, hogy nem létezik sokkal jobb megoldás (ez lényegében a játék gráfjának végignézése volt), közben pedig remélem nem felejtettem ki semmit.
